X(3)-vertex conjugation maps the Euler line to a quartic:

(-2 a^6 c^2+6 a^4 b^2 c^2-6 a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2+2 a^2 c^6-2 b^2 c^6) x^2 y^2+(-a^6 b^2+3 a^4 b^4-3 a^2 b^6+b^8+a^6 c^2-3 a^2 b^4 c^2+2 b^6 c^2-3 a^4 c^4+3 a^2 b^2 c^4+3 a^2 c^6-2 b^2 c^6-c^8) x^2 y z+(-a^8+3 a^6 b^2-3 a^4 b^4+a^2 b^6-2 a^6 c^2+3 a^4 b^2 c^2-b^6 c^2-3 a^2 b^2 c^4+3 b^4 c^4+2 a^2 c^6-3 b^2 c^6+c^8) x y^2 z+(2 a^6 b^2-2 a^2 b^6-6 a^4 b^2 c^2+2 b^6 c^2+6 a^2 b^2 c^4-2 b^2 c^6) x^2 z^2+(a^8+2 a^6 b^2-2 a^2 b^6-b^8-3 a^6 c^2-3 a^4 b^2 c^2+3 a^2 b^4 c^2+3 b^6 c^2+3 a^4 c^4-3 b^4 c^4-a^2 c^6+b^2 c^6) x y z^2+(2 a^6 b^2-2 a^2 b^6-2 a^6 c^2+6 a^2 b^4 c^2-6 a^2 b^2 c^4+2 a^2 c^6) y^2 z^2 = 0